MATEMÁTICA 3°AÑO
ACTIVIDAD DE REPASO: FUNCIONES
(2012) Prof.
Viviana Lozano
Matemática 3° año - 2012 | Prof.
Viviana Lozano
1
1- Dadas las funciones:
32)(/:
1
2
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2
1
+==ℜ→
+
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x
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Calcular/Hallar…
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b.
Raices = 0
C
c.
Ordenada al origen = 0y
d.
Asíntotas, vértice u otro elemento...
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MATEMÁTICA 3°AÑO ACTIVIDAD DE REPASO: FUNCIONES (2012) Prof. Viviana Lozano Matemática 3° año - 2012 | Prof. Viviana Lozano 1 1- Dadas las funciones: 32)(/: 1 2 )(/: 2 1 +==ℜ→ + ==ℜ→ xyxfDff x x yxfDff Calcular/Hallar… a. Df b. Raices = 0 C c. Ordenada al origen = 0y d. Asíntotas, vértice u otro elemento auxiliar que tenga la función. e. Graficar y hallar )( fmℑ f. Analizar inyectividad, sobreyectividad y biyectividad g. Dar una restricción biyectiva h. Calcular la fórmula de )(xf − indicando su dom e imagen. Graficarla junto con )(xf i. + C y − C j. Máximos y mínimos k. Intervalos de crecimiento y decrecimiento 2- Calcular las fórmulas de las traslaciones indicadas para las siguientes funciones y graficarlas junto con la función sin trasladar. (uno para a y b, otro para c y d, y otro para e) 3)(/: 2)(/: 2 +−==ℜ→ℜ −==ℜ→ℜ xyxgg xyxff a. )(xfT 2u → b. )(xgT 1u ↓ c. )(xfT 1u ← d. )(xgT 2u ↑ e. )(xfT 1u → y 3u ↓ 3- Dadas las funciones x xhxxxgxxf 1 )()(23)( 2 =−=−= Cal
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ESCUELA TÉCNICA
N°37
“HOGAR NAVAL
STELLA MARIS”
MATEMÁTICA
AÑO…….
.
DIVISIÓN………….
PROFESORA: VIVIANA LOZANO
ALUMNO:……………………………………………….
.
AÑO: 201….
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Escuela Técnica Nº 37 D.
E.
11
Año: 2012
Materia: MATEMÁTICA
CONDICIONES GENERALES PARA CORRECCIÓN DE EXÁMENES
El puntaje del examen es la proporción de cada respuesta correcta sobre el total de las
mismas.
Para la corrección del examen se tendrá en cuenta:
• En cada hoja debe figurar nombre y apellido, fecha y número de...
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Escuela Técnica Nº 37 D. E. 11 Año: 2012 Materia: MATEMÁTICA CONDICIONES GENERALES PARA CORRECCIÓN DE EXÁMENES El puntaje del examen es la proporción de cada respuesta correcta sobre el total de las mismas. Para la corrección del examen se tendrá en cuenta: • En cada hoja debe figurar nombre y apellido, fecha y número de hoja • En la primera hoja debe figurar número total de hojas entregadas para corrección y firma del alumno. • Claridad en la resolución y pertinencia de las respuestas. • Prolijidad en la escritura • Continuidad en la resolución de cada punto. • Correcto manejo de conceptos y herramientas. • Aplicación de conceptos teóricos trabajados. • Coherencia en la argumentación propuesta en cada respuesta. • Comprensión de los núcleos esenciales de los contenidos. • EL examen deberá ser escrito totalmente en tinta _________________________ __________________________________ Firma y aclaración del alumno Firma y aclaración del padre/madre/tutor
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PAUTAS GENERALES PARA EL DESARROLLO DE LAS CLASES DE MATEMÁTICA
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AÑO.
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DIV .
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TURNO.
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Profesora Viviana Lozano
¡Bienvenidos alumnos!
Espero que estas palabras les sirvan para orientarse y organizarse a lo largo del año.
Durante este tiempo que compartiremos, deben traer a todas las...
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PAUTAS GENERALES PARA EL DESARROLLO DE LAS CLASES DE MATEMÁTICA . . . . . . AÑO. . . . . DIV . . . . TURNO. . . . . Profesora Viviana Lozano ¡Bienvenidos alumnos! Espero que estas palabras les sirvan para orientarse y organizarse a lo largo del año. Durante este tiempo que compartiremos, deben traer a todas las clases de matemática la carpeta de Matemática, lápiz, lapicera o birome azul o negra, regla, goma de borrar y tres lápices de colores fuertes (cualquiera) que pueden ser reemplazados por biromes o marcadores de color (ni negro, ni rojo, ni azul). Puede traer en forma optativa una tijera y boligoma. También todo aquello que sea necesario para el desarrollo de las actividades particulares de cada clase, como: cuaderno borrador, guías de ejercitación, guías teóricas, lecturas, así como otros útiles: calculadora científica, compás, transportador, etc. , según se los vaya solicitando. Tanto la carpeta (completa) como los materiales para el trabajo en clase son
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Profesora Viviana Lozano Matemática 3°1° año 2012
TEÓRICO PRÁCTICO: COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
E.
T.
N°37 D.
E.
N°11 [Escribir texto] Página 1
La composición de funciones es una operación definida solo entre funciones.
Veamos cómo se interpreta y se calcula a partir de las fórmulas de las funciones
involucradas
Si tenemos...
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Profesora Viviana Lozano Matemática 3°1° año 2012 TEÓRICO PRÁCTICO: COMPOSICIÓN DE FUNCIONES E. T. N°37 D. E. N°11 [Escribir texto] Página 1 La composición de funciones es una operación definida solo entre funciones. Veamos cómo se interpreta y se calcula a partir de las fórmulas de las funciones involucradas Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el conjunto imagen de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Usando las fórmulas podemos calcular la fórmula de la composición siguiendo esta secuencia de reemplazo y cálculo ( ) [ ] 161)2(3)2()()( +=+⋅=== xxxgxfgxfg o Para un valor en particular ( ) 711. 6)1( =+=fg o
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Profesora Viviana Lozano Matemática 3°1° año 2011
Escuela Técnica N°37 DE N°11 Departamento de Ciencias Exactas y Naturales
1
a
TEÓRICO PRÁCTICO : FUNCIÓN INVERSA
Representamos una relación BAR →: usando diagramas de flechas (azules).
La relación inversa de R , que
llamaremos 1−
R , quedará definida AB → (rojas)
Si...
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Profesora Viviana Lozano Matemática 3°1° año 2011 Escuela Técnica N°37 DE N°11 Departamento de Ciencias Exactas y Naturales 1 a TEÓRICO PRÁCTICO : FUNCIÓN INVERSA Representamos una relación BAR →: usando diagramas de flechas (azules). La relación inversa de R , que llamaremos 1− R , quedará definida AB → (rojas) Si analizamos ambas relaciones, vemos que R es función pero 1− R no. PROPIEDAD La relación inversa de una función es función, si y solo si, la función es biyectiva Veamos un ejemplo de una función representada en un gráfico cartesiano 23)(/: −==ℜ→ℜ xyxff Al ser una función afín, es biyectiva (observa el gráfico) x 23)( −== xyxf Al ser una función afín, su gráfico es una recta. Es fácil demostrar que es biyectiva 0 -2 1 1 -1 -5 2 4 Para dibujar el gráfico de su inversa solo tenemos que invertir la tabla x )(1 xf − Graficamos con esos valores )(1 xf − y observamos que también es una recta, que resulta ser SIMÉTRICA a )(xf respecto de la recta y=x (bisectriz del 1° y 3° cuadran
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Profesora Viviana Lozano
TP 11: OPERACIONES CON FUNCIONES 2° año
Teórico práctico
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
Cuando conocemos las fórmulas que definen a varias funciones, es posible hacer cálculos con
ellas.
Por ejemplo, podemos SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR, DIVIDIR, CALCULAR UNA
POTENCIA O RAÍZ.
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Profesora Viviana Lozano TP 11: OPERACIONES CON FUNCIONES 2° año Teórico práctico 1 Profesora Viviana Lozano | E. T. N°37 D. E. N°11 1 Cuando conocemos las fórmulas que definen a varias funciones, es posible hacer cálculos con ellas. Por ejemplo, podemos SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR, DIVIDIR, CALCULAR UNA POTENCIA O RAÍZ. La forma en que se realizan estos cálculos va de acuerdo con los procedimientos conocidos para los cálculos con números. Solo requieren que los adaptemos respetando las propiedades que conocemos de las operaciones con números Veamos algunos ejemplos, para eso vamos a considerar las siguientes funciones: 4)(12)(23)( +=+−=−= xxhxxgxxf 1) Sumamos Como vemos, solo hace falta reemplazar por la fórmula correspondiente y calcular, como ya sabemos, sumando(o restando según corresponda) los términos con “x” entre sí y los que no tienen, también entre sí. 2) Restamos Reemplazamos cada función por su fórmula y calculamos. En este caso hay que tener cuidado al sacar los paré
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Profesora Viviana Lozano
2° año
T P 10: Pendiente y Reconstrucción de la Ecuación de una Recta
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
1- Representar gráficamente las siguientes rectas y hallar en cada caso el ángulo que forman con el
sentido positivo del eje de abscisas (eje x)
32)
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)32)2)12)
23)22)12)2))...
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MATEMÁTICA 2° AÑO
TP 9: Ejercitación
Reconstrucción de la fórmula de una recta
Profesora Viviana Lozano Página 1
Hallar la ecuación (o fórmula) de cada una de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:
1- tiene pendiente 5/3 y corta al eje “y” en y = -1
2- es paralela a “
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−= xy ” y pasa por el...
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MATEMÁTICA 2° AÑO TP 9: Ejercitación Reconstrucción de la fórmula de una recta Profesora Viviana Lozano Página 1 Hallar la ecuación (o fórmula) de cada una de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones: 1- tiene pendiente 5/3 y corta al eje “y” en y = -1 2- es paralela a “ 6 1 3 4 −= xy ” y pasa por el punto (0;1/3) 3- es perpendicular a “ 3 5 4 +−= xy ” y tiene ordenada al origen -2 4- es paralela a “ 2 1 4 1 +−= xy ” y su fórmula corresponde a una función afín-lineal 5- pasa por el punto (2;-1) y su fórmula corresponde a una función afín-constante 6- es perpendicular a “ 5 1 5 2 −= xy ” y pasa por el punto (4;-3) 7- es paralela a “ xy 3 1 −= ” y pasa por el punto (-3;0) 8- pasa por los puntos (-2;1) y (3;5) 10- pasa por los puntos (0;-3) y (-1;0) 9- pasa por los puntos (2;-3) y (4;0) 11- es la recta cuyo gráfico es: -2 3 x y x y 3 5 11-a 11-b
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MATEMÁTICA 2° AÑO
TP 8: Actividad de repaso: Cuestionario
Funciones Afines y rectas
Profesora Viviana Lozano Página 1
1- ¿Qué coordenadas tiene el punto de intersección de una recta de ecuación “y=ax+b” con el eje
y?
2- ¿Qué representa la pendiente en el gráfico de la recta de ecuación “y=ax+b”?
3- ¿Qué relación...
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MATEMÁTICA 2° AÑO TP 8: Actividad de repaso: Cuestionario Funciones Afines y rectas Profesora Viviana Lozano Página 1 1- ¿Qué coordenadas tiene el punto de intersección de una recta de ecuación “y=ax+b” con el eje y? 2- ¿Qué representa la pendiente en el gráfico de la recta de ecuación “y=ax+b”? 3- ¿Qué relación hay entre el signo de la pendiente y el tipo de crecimiento de una función afín? 4- ¿Qué condición cumplen las pendientes de dos rectas paralelas? 5- ¿Qué condición cumplen las pendientes de dos rectas perpendiculares? 6- Dibuja de manera que se reconozcan las características particulares: a) Una función afín constante b) Una función afín lineal c) Una función afín no lineal ni constante d) Una función afín creciente e) Una función afín decreciente 7- Qué condiciones cumple la fórmula de una función: a) Afín constante b) Afín lineal c) Afín no lineal ni constante 8- ¿Cuál es la pendiente de una recta que forma un ángulo de 72°40’? 9- ¿Cuál es el ángulo que forma la recta “y=(5/
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Profesora Viviana Lozano
TP 11: OPERACIONES CON FUNCIONES 2° año
Teórico práctico
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
Cuando conocemos las fórmulas que definen a varias funciones, es posible hacer cálculos con
ellas.
Por ejemplo, podemos SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR, DIVIDIR, CALCULAR UNA
POTENCIA O RAÍZ.
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Profesora Viviana Lozano
TP 11: OPERACIONES CON FUNCIONES 2° año
Teórico práctico
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
Cuando conocemos las fórmulas que definen a varias funciones, es posible hacer cálculos con
ellas.
Por ejemplo, podemos SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR, DIVIDIR, CALCULAR UNA
POTENCIA O RAÍZ.
La...
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Profesora Viviana Lozano TP 11: OPERACIONES CON FUNCIONES 2° año Teórico práctico 1 Profesora Viviana Lozano | E. T. N°37 D. E. N°11 1 Cuando conocemos las fórmulas que definen a varias funciones, es posible hacer cálculos con ellas. Por ejemplo, podemos SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR, DIVIDIR, CALCULAR UNA POTENCIA O RAÍZ. La forma en que se realizan estos cálculos va de acuerdo con los procedimientos conocidos para los cálculos con números. Solo requieren que los adaptemos respetando las propiedades que conocemos de las operaciones con números Veamos algunos ejemplos, para eso vamos a considerar las siguientes funciones: 4)(12)(23)( +=+−=−= xxhxxgxxf 1) Sumamos Como vemos, solo hace falta reemplazar por la fórmula correspondiente y calcular, como ya sabemos, sumando(o restando según corresponda) los términos con “x” entre sí y los que no tienen, también entre sí. 2) Restamos Reemplazamos cada función por su fórmula y calculamos. En este caso hay que tener cuidado al sacar los paré
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8/4/12
Vectores
Definició
n
Suma y resta de
vectores
Interpretación Grafica
Gráfica Por componentes
Elementos
Módulo
Forma cartesianaForma polar
Aplicaciones
Producto
s
Vector por un escalarEscalar entre dos vectoresVectorial entre dos ve
Versor
Componente de un vector sobre la dirección de otroProyección de un...
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8/4/12 Vectores Definició n Suma y resta de vectores Interpretación Grafica Gráfica Por componentes Elementos Módulo Forma cartesianaForma polar Aplicaciones Producto s Vector por un escalarEscalar entre dos vectoresVectorial entre dos ve Versor Componente de un vector sobre la dirección de otroProyección de un vector sobre la dirección de otro Área del paraleloVolumen del paralelepípedo que det Perpendicularidad Pasaje Vectores especiales Angulo Mixto
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Microsoft Powerpoint
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Actividad de repaso: relaciones y funciones
Usando por lo menos 10 palabras de las que aparecen en la nube del afiche, elabora 5 oraciones dentro del marco teórico de la unidad
Propiedades, definiciones, conclusiones, métodos de reconocimiento, condiciones, etc.
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Microsoft Word
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FUNCIONES ALGEBRAICAS 3° año
Actividad de aprendizaje y ejercitación
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
En este apunte comenzaremos a estudiar ciertos tipos de funciones.
Cada una de ellas tiene una fórmula característica y un gráfico
característico.
Llamamos dominio natural de...
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Profesora Viviana Lozano FUNCIONES ALGEBRAICAS 3° año Actividad de aprendizaje y ejercitación 1 Profesora Viviana Lozano | E. T. N°37 D. E. N°11 1 En este apunte comenzaremos a estudiar ciertos tipos de funciones. Cada una de ellas tiene una fórmula característica y un gráfico característico. Llamamos dominio natural de una función al mayor conjunto de valores ℜ∈"" x para los cuáles está definida la imagen. Por esta causa el dominio natural de una función depende de la posibilidad de resolver las operaciones que aparecen en su fórmula. Por ejemplo: Si en una fórmula hay una división, la variable independiente, “x”, podrá tomar cualquier valor real que no anule al divisor (denominador, si está expresada en forma fraccionaria). Así como ésta aparecerán otras restricciones naturales asociadas a la imposibilidad de resolver algún cálculo. Estas restricciones no son arbitrarias ni determinadas por las características de las variables que relacionan, en el marco de un problema o situ
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FUNCIONES AFINES 2° año-2012
TP 4: Interpretación geométrica de los parámetros de la fórmula
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
PARTE 1:
Conoceremos un tipo de funciones que tiene gran aplicación como modelo para
muchos fenómenos naturales, económicos, etc.
Las funciones afines...
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Profesora Viviana Lozano FUNCIONES AFINES 2° año-2012 TP 4: Interpretación geométrica de los parámetros de la fórmula 1 Profesora Viviana Lozano | E. T. N°37 D. E. N°11 1 PARTE 1: Conoceremos un tipo de funciones que tiene gran aplicación como modelo para muchos fenómenos naturales, económicos, etc. Las funciones afines son funciones que tienen como dominio e imagen el conjunto de los números reales (o sea todos los números que conocemos hasta ahora). Escribimos entonces Ejemplos de fórmulas de funciones afines son: Fórmula Fórmula completa a b 32)( −== xyxf 32 −= xy 2 -3 1 3 2 )( +−== xyxf 1 3 2 +−= xy 3 2 − 1 4)( −== xyxf 41 −= xy 1 -4 xyxf 5)( −== 05 +−= xy -5 0 6)( == yxf 60 += xy 0 6 Fíjate como la fórmula siempre tiene un valor asignado para “a” y otro para “b” aunque algunas veces (por economía) no se los escriba. 1- Confeccionar una tabla de valores para cada función, con el siguiente formato Modelo 1 x 32 −= xy (x;y) 2 2. 2-3=-1 (2;-1) 2- Representa cada función en un grá
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FUNCIONES AFINES
2° año -2012TP 5: Clasificación de funciones afines
1
Profesora Viviana Lozano | E.
T.
N°37 D.
E.
N°11
1
TP 5: CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES AFINES
Las funciones afines son funciones que tienen como dominio e imagen el conjunto
de los números reales (o sea todos los números que...
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Profesora Viviana Lozano FUNCIONES AFINES 2° año -2012TP 5: Clasificación de funciones afines 1 Profesora Viviana Lozano | E. T. N°37 D. E. N°11 1 TP 5: CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES AFINES Las funciones afines son funciones que tienen como dominio e imagen el conjunto de los números reales (o sea todos los números que conocemos hasta ahora). Escribimos entonces Al graficar, los distintos valores de los parámetros corresponden a rectas con distintas características lo que permite establecer una clasificación para estas funciones. Veamos que características gráficas distinguen estas clases. PARTE 1 Dadas las funciones afines cuyas fórmulas aparecen en la siguiente tabla Fórmula a b Fórmula completa bxayxf +⋅==)( Orientación de la recta 1 1)( == yxf 0 1 f(x)=y=0x+1 2 3)( == yxf 3 2)( −== yxf 4 2 7 )( −== yxf 5 0)( == yxf 1- Confecciona una tabla de valores para cada función. Ejemplo: 2- Representa todas las funciones anteriores, en tu carpeta, en un mismo gráfico cartesiano (a car
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